ガウス分布とレイリー分布

レイリー分布を二次元ガウス分布から導出する．確率変数$x, y$（$x$と$y$は互いにIID）において，平均$0$, 分散$\sigma^2$の正規分布を考える．$$\begin{split}p(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{x^2}{\sigma^2}\right\}\\p(y)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{y^2}{\sigma^2}\right\}\end{split}$$
$x, y$は互いにIIDであるため，$p(x), p(y)$の同時確率密度関数はそれぞれの確率密度関数の積で表すことができる．$$\begin{split}p(x, y)&=p(x)p(y)\\&=\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left\{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right\}\end{split}$$
次に極座標系への変数変換を考える．$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$とするとヤコビアン$|J|$は$r$となる．よって，$$\begin{split}p(r, \theta)&=|J|p(x,y)\\&=\frac{r}{2\pi\sigma^2}\exp\left\{-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right\}\end{split}$$

レイリー分布は，この同時確率密度関数における振幅$r$の周辺分布である．つまり上式を$\theta$で積分したものがレイリー分布となる．$$\begin{split}p(r)&=\frac{r}{\sigma^2}\exp\left\{-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right\}\end{split}$$