ヤコビアン

以下，二変数の重積分を考える．ヤコビアン$J$とは変数変換前後の面積比となる．以下の具体的な例を示す．まず，$u=(1,0), v=(0,1)$で囲まれた正方形を考える．当然色のついた部分の面積は1である．

次に以下のような一次変換（変数変換）を施す．$$\begin{split}x& = au + bv\\ y &= cu + dv\end{split}$$
そうすると，先ほどの$u,v$の座標は新たな座標$x=(a,c), y =(b,d)$に変換される．$$\begin{split}x &= (a\cdot 1 + b\cdot 0, x\cdot1+d\cdot0) \\&= (a,c)\\y &= (a\cdot0 + b\cdot 1, x\cdot0+d\cdot1) \\&= (b,d)\\\end{split}$$

そして，色のついた面積は以下のような平行四辺形に変換される．

平行四辺形の面積はそれぞれのベクトルの外積に等しく，変換行列の行列式に等しいため，以下のように求めることができる．$$\begin{split}S&={\rm abs }\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\\&={\rm abs}(ad-bc)\end{split}$$

さて，ここで以下のような変数変換を考える．$$\begin{split}x&=\phi_1(u,v)\\y&=\phi_2(u,v)\end{split}$$

このとき$x, y$の全微分はそれぞれ以下のように表される．$$\begin{split}{\rm d}x &= \frac{\partial x}{\partial u}{\rm d}u+\frac{\partial x}{\partial v}{\rm d}v\\{\rm d}y &= \frac{\partial y}{\partial u}{\rm d}u+\frac{\partial y}{\partial v}{\rm d}v\end{split}$$

よって，${\rm d}x{\rm d}y$と${\rm d}u{\rm d}v$の微小な面積比，すなわちヤコビアン$|J|$は$$|J|={\rm abs}\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}$$

となり，$${\rm d}u{\rm d}v:{\rm d}x{\rm d}y=1:|J|\Longleftrightarrow{\rm d}x{\rm d}y=|J|{\rm d}u{\rm d}v$$となる．